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课程简介

函数世界的杀手,初中代数的梦魇——二次函数,折磨着一代又一代的初三学子。甚至在高?#26657;?#37117;会有很大一部分的内容是围绕二次函数进行的,二次函数的代表性和重要性可见一斑。较多的知识点,错综复杂的联系,题?#24656;?#21464;化多端的思路和?#35760;桑?#36825;些都是让二次函数成为最?#24515;?#24230;的一章内容当之无愧。超级课堂从定义和解析式开?#35745;平?#20108;次函数,涉及到图像,性质,系数,求根公式和根等等一系列完整的知识体系,逐步深入,环环相扣,帮你彻底解决二次函数。

教材版本与年级
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九年级上册
?#26412;?#35838;改版
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版本
适合年级
湘教版
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九年级下册
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九年级下册
视频列表
  • 1、二次函数的一般式:$y=ax^{2}+bx+c$($a$、$b$、$c$为常数,且$a\neq 0$)。
    2、 判定二次函数的依据:自变量的最高次是二次,且二次项系数不为零,且解析式的右边一定是整式,不能包含分式或根式
    3、 二次函数解析式的求法,还是待定系数法,一般有几个未知系数就要代入几组$xy$值,其实就是解多元方程
  • 1、二次函数$y=ax^{2}$($a\neq 0$)的图象是抛物线,顶点就是原点,对称轴是$y$轴
    2、 $a$的正负决定了开口方向,$a>
    3、 0$时,开口向上,$a<
    4、 0$时,开口向下
    5、 增减性的判断,根据$a$的符号画出大致图像,然后判断$y$随$x$变化而变化的?#39751;疲?#20063;就是增减性
    6、 $\left | a \right |$决定了图象的形状:$\left | a \right |$越大,图象开口越小;$\left | a \right |$越小,图象开口越大,若$\left | a \right |$相同,图像的形状就相同
  • 1、通过平移变换?#39057;迹?#25226;最简单的二次函数解析式变成了顶点式,发?#33267;?#28207;式顶点$\left ( h,k \right )$
    2、 两种特殊的顶点式,第一类是,对称轴是$x=h$,顶点是$\left ( h,0 \right )$。第二类是对称轴是$y$轴,顶点是$\left ( 0,k \right )$
    3、 抛物线平移其实就是顶点的平移
  • 1、把一般式,转化为顶点式,三步走,第一步:提系数;第二步:加减常数;第三步:整理式子。要注意它与一元二次方程配方的区别
    2、 利用配方法,把一般式配方成顶点式:得到了两个公式,对称轴公式,顶点坐标公式
  • 1、图象的形状完全由$a$决定,$a$的正负决定开口方向,$a>
    2、 0$,开口向上;$a<
    3、 0$,开口向下
    4、 $\left | a \right |$的大小决定开口大小:$\left | a \right |$越大,开口越小;$\left | a \right |$越小,开口越大
    5、 只有$a$相同的函数才能进行平移变换
    6、 函数的最值,可以通过公式法或者配方法来求,由$a$的正负在草纸上随手画一道开口正确的彩虹,接下来就看图说话了
  • 1、抛物线的增减性,搞清对称轴和$a$的正负,然后画个弧线,看看对称轴两边的曲线,哪个上升,哪个下降
    2、 抛物线与坐标轴的交点。令$x$等于$0$,求得就是跟$y$轴的交点$\left ( 0,c \right )$
    3、 令$y$等于$0$,就能求出跟$x$轴的交点个数,这是二次函数变成二次方程,直接由判别式就可以确定抛物线和$x$的关系
    4、 判别式大于$0$,则图像与$x$轴就有两个交点
    5、 判别式等于$0$,则图像与$x$轴有一个交点
    6、 判别式小于$0$,则图像与$x$轴没有交点
  • 1、$abc$对于图像的影响,$a$决定抛物线的形状,$b$和$a$一起决定了对称轴位置,$c$决定了图像和$y$轴的交点
    2、 看图判断$abc$的正负,一句口诀搞定:“一看开口二看轴,$y$上交点瞅一瞅”
  • 1、最简单的,由$a$、$b$、$c$各自的正负判断组合式的正负,需要利用不等式的性质
    2、 找特殊的$x$值。把正负$1$,正负$2$这种点代入,就能够产生$a+b+c$、$4a-2b+c$这种$a$、$b$、$c$组合的式子,然后在图像上看看这个$x$值对应的位置,就知道这时的函数值是正是负了
    3、 通过交点$x_{1}$$x_{2}$的?#27573;В?#26469;确定$ab$或$ac$组合的式子。其中$ab$组合的式子,需要通过$x_{1}$$x_{2}$判断对称轴的?#27573;В?#20877;用对称轴公式判断$a$和$b$的不等关系,得到$a$、$b$组合式的正负
    4、 对于$ac$组合的式子,要利?#26790;?#36798;定理
  • 1、$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$。交点式就是$x$和两个交点横坐标的差,写成乘积的形式,再加一个二次项系数$a$
    2、 知道函数的图像和$x$轴交点时,就可以用交点式来设解析式,然后待定系数法搞定
    3、 对于二次函数的三种解析式:一般式,顶点式和交点式
  • 1、三选一大致是如下规则:有顶点坐标或对称轴时首选设顶点式,有$x$轴上两点的坐标时首选设交点式,只有三个普通点的坐标就只能设一般式
    2、 不要生搬硬套,又快又准地得到解析式才是终极目标
  • 1、抛物线和$y$轴的交点,看$c$。交点坐标就是$\left ( 0,c \right )$
    2、 抛物线和$x$轴的交点,被转化成了一元二次方程根的问题。通过判别式搞定
    3、 当$\Delta =b^{2}-4ac>0$时,抛物线与$x$轴有两个交点
    4、 当$\Delta =b^{2}-4ac=0$时,抛物线与$x$轴有一个交点
    5、 当$\Delta =b^{2}-4ac<0$时,抛物线与$x$轴没有交点
  • 1、对于平移,遵循?#30333;?#21152;右减,上加?#24405;酢?br/> 2、 对于轴对称和中心对称变换,要先把一般式化为顶点式,再去观察变换对开口方向和顶点的影响,也就是$a$的符号变化和$h$、$k$的变化
    3、 如果开口方向相反,$a$的符号就要改变
    4、 关于顶点的变化,用对称轴的$2$倍减去相应的原坐标,就是新坐标
    5、 旋转$180^{\circ}$的中心对称,相当于横纵坐标都进行了一次对称变换
  • 1、求函数的最值,当$x$取值?#27573;?#26159;全体实数时,$a>
    2、 0$时二次函数只有最小值,$a<
    3、 0$时二次函数只有最大值,都在顶点处取得,数值都是顶点的纵坐标,?#37096;?#20197;把解析式配方成$y=(x-k)^{2}+k$,最值就是$y=k$。
    4、 当$x$被限定在一个?#27573;?#20869;时,二次函数的最值必定在顶点或端点处取得,要借助大致的图像?#30913;?#26029;最值的具体位置
  • 1、直线与抛物线的位置关系:相交、相?#23567;?#30456;离,?#30452;?#26159;两个交点,一个交点和没有交点
    2、 判定的方法就是联立方程组,确定判别式的正负
    3、 公共点坐标的求法,把联立得到的方程组解出来,每组相应的$x$与$y$便组成一个交点
    4、 一道可以巧解的题目,用到了韦达定理,体?#33267;?#35774;而不求的数学方法
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